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Verify the given linear approximation at a=0, Then determine the values of x for which the linear approximation is accurate to within 0.1 1. (1+x)^1/2 近似於 1+ 1/2 x 2. e^x 近似於 1+ x 煩請各位大大幫我解題！ 更新: answers: 1. -0.69<1.09 2. -0.483<0.416 大大..您的答案與此不合呢? 更新 2: 1. -0.69 < x < 1.09 2. -0.483 < x < 0.416
最佳解答:
利用泰勒展開式可知： F(x) = F(0) +F'(0)x + F''(c)x^2 其中 0<= c <= x ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (1) F(x) = (1+x)^(1/2) --> F(0) = 1、F'(0) = 1/2 、F''(c) = (-1/4)*(1+c)^(-3/2) 所以 (1+x)^(1/2) = 1 + x/2 + (-1/4)*(1+c)^(-3/2)x^2 也就是 誤差 E = | (1+x)^(1/2) - [ 1 + x/2 ] | = (1/4)*(1+c)^(-3/2)x^2 <= x^2 /4 當 x -> 0 時，誤差 E <= x^2/4 ->0 所以 誤差 E <= x^2/4 <= 0.1 ---> | x | <= 0.4^(1/2) < 0.632 時，其誤差在 0.1 內。 【範例】 所以 (1.1)^(1/2) = (1+0.1)^(1/2) ~ 1 + 0.1/2 = 1.05 誤差小於 0.1^2/4 = 0.0025 【檢驗：(1.1)^(1/2) = 1.0488088481701515469914535136799 ~ 1.05 】 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (2) F(x) = e^x --> F(0) = 1、F'(0) = 1 、F''(c) = e^c 所以 e^x = 1 + x + (e^c)*(x^2) 也就是 誤差 E = | (e^x - [ 1 + x ] | = (e^c)*(x^2) <= (e^x)*(x^2) 當 x -> 0 時，誤差 E <= (e^x)*(x^2) ->0 所以 誤差 E <= (e^x)*(x^2) <= 0.1 ---> | x | < 0.27 時，其誤差在 0.1 內。 【範例】 所以 e^0.1 ~ 1 + 0.1 = 1.1 誤差小於 (e^0.1)*(0.1)^2 = 0.0111 【檢驗：e^0.1 = 1.1051709180569842382956920087003~ 1.1 】 2009-11-18 22:37:13 補充： 因為我取的誤差【比較保守】，我在精算一下！ 2009-11-18 22:49:12 補充： 【修正】泰勒展開式： F(x) = F(0) +F'(0)x + [ F''(c)/2 ]*x^2 其中 0<= c <= x 2009-11-18 23:12:25 補充： 以上的方法【只能保守估計】，而且上面的數值也有點算錯，【精算】如下： (1) 令 F(x) = (1+x)^(1/2) - (1+x/2) ---> F'(x) = (1/2)*[ (1+x)^(-1/2) - 1 ] ---> x < 0 為遞增、x > 0 為遞減 (以 x = 0 為最大值的下凹圖形) 所以只要找出 F(x) = 0.1 時的二解 a、b，則有【當 a< x < b 時，| (1+x)^(1/2) - (1+x/2) | < 0.1】 用逼進法可以得知 a ~ -0.69、b ~ 1.09 --> 所求解就是 -0.69 < x < 1.09。 2009-11-18 23:16:49 補充： (1) 打錯更正，所以只要找出 F(x) = -0.1 時........ 2009-11-18 23:16:53 補充： (2) 令 F(x) = e^x - (1+x) ---> F'(x) = e^x - 1 ---> x > 0 為遞增、x < 0 為遞減 (以 x = 0 為最小值的下凹圖形) 所以只要找出 F(x) = 0.1 時的二解 a、b，則有【當 a< x < b 時，| e^x - (1+x) | < 0.1】 用逼進法可以得知 a ~ -0.483、b ~ 0.416 --> 所求解就是 -0.483 < x < 0.416。 2009-11-19 00:19:33 補充： 用【年頓逼近法】可以精確到： (1) -0.69442719 < x < 1.09442719 (2) -0.483183167 < x < 0.41622116
其他解答:CF546184287637C5
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Linear approximations 近似問題發問:
Verify the given linear approximation at a=0, Then determine the values of x for which the linear approximation is accurate to within 0.1 1. (1+x)^1/2 近似於 1+ 1/2 x 2. e^x 近似於 1+ x 煩請各位大大幫我解題！ 更新: answers: 1. -0.69<1.09 2. -0.483<0.416 大大..您的答案與此不合呢? 更新 2: 1. -0.69 < x < 1.09 2. -0.483 < x < 0.416
最佳解答:
利用泰勒展開式可知： F(x) = F(0) +F'(0)x + F''(c)x^2 其中 0<= c <= x ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (1) F(x) = (1+x)^(1/2) --> F(0) = 1、F'(0) = 1/2 、F''(c) = (-1/4)*(1+c)^(-3/2) 所以 (1+x)^(1/2) = 1 + x/2 + (-1/4)*(1+c)^(-3/2)x^2 也就是 誤差 E = | (1+x)^(1/2) - [ 1 + x/2 ] | = (1/4)*(1+c)^(-3/2)x^2 <= x^2 /4 當 x -> 0 時，誤差 E <= x^2/4 ->0 所以 誤差 E <= x^2/4 <= 0.1 ---> | x | <= 0.4^(1/2) < 0.632 時，其誤差在 0.1 內。 【範例】 所以 (1.1)^(1/2) = (1+0.1)^(1/2) ~ 1 + 0.1/2 = 1.05 誤差小於 0.1^2/4 = 0.0025 【檢驗：(1.1)^(1/2) = 1.0488088481701515469914535136799 ~ 1.05 】 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (2) F(x) = e^x --> F(0) = 1、F'(0) = 1 、F''(c) = e^c 所以 e^x = 1 + x + (e^c)*(x^2) 也就是 誤差 E = | (e^x - [ 1 + x ] | = (e^c)*(x^2) <= (e^x)*(x^2) 當 x -> 0 時，誤差 E <= (e^x)*(x^2) ->0 所以 誤差 E <= (e^x)*(x^2) <= 0.1 ---> | x | < 0.27 時，其誤差在 0.1 內。 【範例】 所以 e^0.1 ~ 1 + 0.1 = 1.1 誤差小於 (e^0.1)*(0.1)^2 = 0.0111 【檢驗：e^0.1 = 1.1051709180569842382956920087003~ 1.1 】 2009-11-18 22:37:13 補充： 因為我取的誤差【比較保守】，我在精算一下！ 2009-11-18 22:49:12 補充： 【修正】泰勒展開式： F(x) = F(0) +F'(0)x + [ F''(c)/2 ]*x^2 其中 0<= c <= x 2009-11-18 23:12:25 補充： 以上的方法【只能保守估計】，而且上面的數值也有點算錯，【精算】如下： (1) 令 F(x) = (1+x)^(1/2) - (1+x/2) ---> F'(x) = (1/2)*[ (1+x)^(-1/2) - 1 ] ---> x < 0 為遞增、x > 0 為遞減 (以 x = 0 為最大值的下凹圖形) 所以只要找出 F(x) = 0.1 時的二解 a、b，則有【當 a< x < b 時，| (1+x)^(1/2) - (1+x/2) | < 0.1】 用逼進法可以得知 a ~ -0.69、b ~ 1.09 --> 所求解就是 -0.69 < x < 1.09。 2009-11-18 23:16:49 補充： (1) 打錯更正，所以只要找出 F(x) = -0.1 時........ 2009-11-18 23:16:53 補充： (2) 令 F(x) = e^x - (1+x) ---> F'(x) = e^x - 1 ---> x > 0 為遞增、x < 0 為遞減 (以 x = 0 為最小值的下凹圖形) 所以只要找出 F(x) = 0.1 時的二解 a、b，則有【當 a< x < b 時，| e^x - (1+x) | < 0.1】 用逼進法可以得知 a ~ -0.483、b ~ 0.416 --> 所求解就是 -0.483 < x < 0.416。 2009-11-19 00:19:33 補充： 用【年頓逼近法】可以精確到： (1) -0.69442719 < x < 1.09442719 (2) -0.483183167 < x < 0.41622116
其他解答:CF546184287637C5
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