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請教一題數學 有關tan的反三角函數

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請教一題數學 有關tan的反三角函數 謝謝!! 圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AD01411337/o/161103290174513872982290.jpg 答案為 47 更新: 再請教小綿羊 大大 公式: tan^(1)x+tan^(-1)y= tan^(-1) (x+y)/(1-xy) , (xy<1) 可否指點我如何推導這個式子嗎?? 感謝!!

最佳解答:

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圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AB00183634/o/161103290174513872982290.jpg 如上圖，有藍黃綠白四個直角三角形 黃者以藍者的斜邊為較長的一股，綠者以黃者的斜邊為較長的一股，依此類推 角α,β,γ分別等於atan(1/3)、atan(1/4)、atan(1/5)，令α的對邊長為√40， 則根據畢氏定理，可逐步求出其他六股之長，如上圖標示。利用三個角的和角公式(這是由兩個角的和角公式推導出來的)： cos(α+β+γ) =cosα*cosβ*cosγ -sinα*sinβ*cosγ -sinα*cosβ*sinγ -cosα*sinβ*sinγ cos(α+β+γ) =(√360/√400)*(√400/√425)*(√425/√442) -(√40/√400)*(√25/√425)*(√425/√442) -(√40/√400)*(√400/√425)*(√17/√442) -(√360/√400)*(√25/√425)*(√17/√442)=(√61200000 -√425000 -√272000 -√153000)/√75140000 =(√7200-√50-√32-√18)/√8840________分子與分母以√8500約分 =(48√2)/√8840 =48/√4420故sin(α+β+γ)=√(1-(cos(α+β+γ))^2)=46/√4420 故tan(α+β+γ)=46/48=23/24 又tan(所求+α+β+γ)=tan45度=1，利用tan的和角公式 [tan(所求)+(23/24)]/[1-tan(所求)*(23/24)]=1 解得tan(所求)=1/47，故n=47。 2011-03-30 13:45:06 補充： 抱歉！應該直接用tan才方便 公式： tan(α+β+γ) =(tanα+tanβ+tanγ-tanα*tanβ*tanγ)/(1-tanα*tanβ-tanβ*tanγ-tanγ*tanα) =(三者之和-三者之積)/(1-兩兩乘積之和) 令角α,β,γ分別等於atan(1/3)、atan(1/4)、atan(1/5)，則 tan(α+β+γ)=(1/3+1/4+1/5-1/60)/(1-1/12-1/20-1/15)=46/48=23/24 下同

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https://lh6.googleusercontent.com/_cLbN44iq_wY/TZFnAIAscfI/AAAAAAAAE2k/Ihc5Hg9kWhw/47.JPG|||||公式: tan^(1)x+tan^(-1)y= tan^(-1) (x+y)/(1-xy) , (xy<1) 若x∈R, 則tan tan^(-1)=x tan^(-1) 1/3+tan^(-1)1/4+tan^(-1)1/5+tan^(-1) 1/n=π/4 ==>tan^(-1) [(1/3)+(1/4)]/[1-(1/3)(1/4)] +tan^(-1)[(1/5)+(1/n)]/[1-(1/5)(1/n)]=π/4 ==>tan^(-1)7/11+tan^(-1) (n+5)/(5n-1)=π/4 ==>tan^(-1) (46n+48)/(48n-46)=π/4 ==>tantan^(-1) (46n+48)/(48n-46)=tanπ/4 ==>(46n+48)/(48n-46)=1 ==>n=47 2011-03-29 11:19:23 補充： 更正漏字： 若x∈R, 則tan tan^(-1) x=x 2011-03-29 12:08:17 補充： 抱歉推導上式公式比較差 應該和正切公式有關 如：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα*tanβ) tan^(1) a=α ,tan^(-1) b=β 2011-03-29 12:19:05 補充： 版主抱歉推導較差 應該和正切公式有關 tan(α+β)=(tanα +tanβ)/(1-tanα*tanβ) tan^(-1) a=α , tan^(-1)b =β 2011-03-29 12:55:35 補充： 更正漏字： 公式: tan^(-1)x+tan^(-1)y= tan^(-1) (x+y)/(1-xy) , (xy<1)13413D6BADCE0D57